Dul chun cinn geoiméadrach agus a n-airíonna

Tá dul chun cinn geoiméadrach tábhachtach sa mhatamaitic mar eolaíocht, agus i bhfeidhm tábhacht, ós rud é go bhfuil sé go mbaineann raon feidhme an-leathan, fiú amháin sna mhatamaitic níos airde, mar shampla, i an teoiric na sraithe. An chéad eolais a fháil ar an dul chun cinn a tháinig chugainn ón Éigipt ársa, go háirithe i bhfoirm fadhb-aitheanta go maith ar an papyrus Rhind seachtar le seacht cait. Athruithe ar an tasc seo bhí arís agus arís eile mhéad uair ag amanna éagsúla ó náisiúin eile. Fiú an Velikiy Leonardo Pizansky, ar a dtugtar Fibonacci (XIII c.), Labhair di ina "Leabhar den Abacus."

Mar sin, go bhfuil an dul chun cinn geoiméadrach stair ársa. Léiríonn sé sraith uimhriúil le céad-chomhalta nonzero, agus gach ina dhiaidh sin, ag tosú leis an dara arna chinneadh tríd an bhfoirmle atarlú roimhe ag roinnt tairiseach, nonzero go bhfuil ar a dtugtar chun cinn ainmneoir (ainmnithe sé de ghnáth ag baint úsáide as an litir q).
Gan amhras, is féidir é a fháil tríd gach téarma ina dhiaidh sin an t-ord leis an mbliain roimhe, i.e. z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... Dá bhrí sin, le haghaidh dul chun cinn post is (Zn) leordhóthanach go bhfuil a fhios sé luach an chéad téarma den ainmneoir agus y 1 q.

Mar shampla, a ligean z 1 = 7, q = - 4 (q <0), ansin an dul chun cinn geoiméadrach a leanas fhaightear 7 - 28, 112-448, .... Mar a fheiceann tú, nach bhfuil an t-ord mar thoradh air monotone.

Chun cuimhne go seicheamh treallach de monotonous (méadú / ag ísliú) nuair a leanann duine dá chomhaltaí mó / níos lú ná an ceann roimhe. Mar shampla, an t-ord 2, 5, 9, ..., agus -10, -100, -1000, ... - monotone, an dara ceann - dul chun cinn geoiméadrach laghdú.

I gcás ina q = 1, tá na comhaltaí go léir a fuarthas a bheith, agus tá sé ar a dtugtar an dul chun cinn leanúnach.

An t-ord ba dul chun cinn den chineál seo, ní mór dó an coinníoll riachtanach agus leordhóthanach a leanas a shásamh, eadhon: ag tosú as an dara, ba chóir gach duine dá chomhaltaí a bheith ar an meán céimseatúil na mball in aice láimhe.

Ligeann sé seo maoin faoi dhá aimsiú in aice dul chun cinn áirithe chairt treallach.

n-ú téarma exponentially fháil go héasca leis an bhfoirmle: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z fhios agam an chéad bhall 1 agus ainmneoir q.

Ós rud é an t-ord uimhir Tá suim, ansin a thabhairt ar roinnt ríomhaireachtaí simplí dúinn foirmle an suim an chéad dul chun cinn na gcomhaltaí, is iad sin a ríomh:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

In ionad, san fhoirmle a luach focal Zn z 1 * q ^ (n-1) a fháil an dara foirmle suim na dul chun cinn: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Is fiú aird ar an bhfíric suimiúil a leanas: an tablet cré le fáil i tochailtí de Babylon ársa, a thagraíonn don VI. BC Tá, ar bhealach iontach suim 1 + 2 + ... + Nach bhfuil 22 + 29 ionann agus 2 don lúide cumhachta deichiú 1. Beidh an míniú an bhfeiniméan seo a shuífear go fóill.

Tugaimid faoi deara ar cheann de na hairíonna de dul chun cinn geoiméadrach - saothar leanúnach ar a chomhaltaí, spaced ag faid comhionann ó na foircinn an t-ord.

Tá tábhacht ar leith ó thaobh na heolaíochta de, a leithéid de rud mar dul chun cinn geoiméadrach gan teorainn, agus a ríomh ar a mhéid. Ag glacadh leis go (yn) - dul chun cinn geoiméadrach a bhfuil ainmneoir q, gcoinníoll a chomhlíonadh | q | <1, a mhéid a bheidh a tharchur chuig an teorainn i dtreo a fhios againn cheana féin suim a chéad chomhaltaí, le méadú unbounded de n, tá ansin ar sé druidim Infinity.

Faigh an méid seo mar thoradh ar úsáid na foirmle:

S n = y 1 / (1- q).

Agus, mar a léiríonn taithí, chun simplíocht léir ar an dul chun cinn é i bhfolach acmhainneacht iarratais ollmhór. Mar shampla, má tá muid a thógáil sraith de cearnóga de réir an algartam a leanas, ag nascadh na lárphointí an ceann roimhe sin, ansin cruthaíonn siad dul chun cinn geoiméadrach gan teorainn cearnach a bhfuil ainmneoir 1/2. An fhoirm dul chun cinn céanna agus réimse na triantáin, a fhaightear ag gach céim na tógála, agus is é a suim is ionann agus an achar na cearnóige bunaidh.