An teoiric na dóchúlachta. Dóchúlacht teagmhais, imeacht ó am go chéile (teoiric dóchúlacht). Forbairtí neamhspleácha agus nach luíonn sa teoiric na dóchúlachta

Ní dócha go cheapann daoine go leor is féidir chun imeachtaí chomhaireamh, a go pointe áirithe thaisme. Chun é a chur i bhfocail shimplí, tá sé réalaíoch a fhios a bheidh taobh den ciúb sna dísle titim chéad uair eile. Ba cheist seo a iarraidh ar dhá eolaithe móra, leagadh síos bunchloch do an eolaíocht, an teoiric na dóchúlachta, an dóchúlacht an ócáid ina bhfuil an staidéar go forleathan go leor.

genesis

Má tá tú iarracht a shainmhíniú den sórt sin coincheap mar theoiric na dóchúlachta, a fháil againn an méid seo a leanas: tá sé seo ar cheann de na brainsí na matamaitice a staidéir ar an seasmhacht na n-imeachtaí randamach. Is léir, an coincheap seo nach bhfuil i ndáiríre nochtann an bunúsach, mar sin ní mór duit a mheas go níos mionsonraithe.

Ba mhaith liom a thosú le bhunaitheoirí an teoiric. Mar a luadh thuas, bhí dhá, go Per Ferma agus Blez Paskal. Bhí siad an chéad iarracht ag baint úsáide as foirmlí agus ríomhaireachtaí matamaiticiúla a ríomh ar an toradh ócáid. Go ginearálta, is é an rudiments an eolaíocht, fiú sa Mheán-Aois. Cé go bhfuil smaointeoirí agus eolaithe éagsúla iarracht chun anailís a dhéanamh ar na cluichí Casino, mar shampla roulette, craps, agus mar sin de, rud a a bhunú ar phatrún, agus an céatadán caillteanais sa líon. Bhí an bhunsraith a leagadh síos freisin sa seachtú haois déag bhí sé ar an scoláirí thuasluaite.

Ar dtús, ní raibh a gcuid oibre a chur i leith na éachtaí móra sa réimse seo, tar éis an tsaoil, cad a rinne siad, bhí siad go simplí a bhí fíricí eimpíreach agus turgnaimh go soiléir gan úsáid a bhaint foirmlí. Le himeacht ama, d'éirigh sé chun torthaí mór, a bhí le feiceáil mar thoradh ar breathnú ar an caitheadh na cnámha a bhaint amach. Tá sé tar éis an ionstraim seo a chabhraigh a thabhairt ar an chéad fhoirmle ar leith.

lucht tacaíochta

Gan trácht ar (béim dóchúlacht an ócáid é sa eolaíocht) fear den sórt sin mar Christiaan Huygens, i mbun an phróisis ag déanamh staidéir ar an ábhar go mbeidh idir an t-ainm "teoiric dóchúlacht". Tá an duine an-suimiúil. Sé, chomh maith le heolaithe láthair thuas a thriail i bhfoirm foirmlí matamaiticiúla a rianú patrún na n-imeachtaí randamach. Is fiú a lua nach raibh sé ag roinnt le Pascal agus Fermat, is é sin nach bhfuil a chuid oibre ar fad forluí leis na intinn. Huygens dhíorthaítear na coincheapa bunúsacha na teoiric dóchúlacht.

Is fíric suimiúil gur tháinig a chuid oibre i bhfad roimh na torthaí na n-oibreacha na n ceannródaithe, a bheith cruinn, fiche bliain roimhe sin. Níl ach i measc na coincheapa a aithníodh bhí:

• mar choincheap na luachanna dóchúlachta seans;
• ionchas don chás scoite;
• teoirimí de suimiú agus iolrú na dóchúlachta.

Ina theannta sin, ní féidir le duine dearmad Yakoba Bernulli, a freisin le staidéar a dhéanamh ar an bhfadhb. Tríd a gcuid féin, agus ní mar a tástálacha neamhspleácha, bhí sé in ann cruthúnas ar an dlí de líon mór a chur ar fáil. Ina dhiaidh sin, eolaithe Poisson agus Laplace, a bhí ag obair sa naoú haois déag, bhí siad in ann a chruthú ar an teoirim bunaidh. Ón nóiméad sin chun anailís a dhéanamh ar earráidí sna tuairimí thosaigh muid ag baint úsáide as teoiric dóchúlacht. Páirtí timpeall an eolaíocht nach bhféadfadh agus Rúisis eolaithe, in áit Markov, Chebyshev agus Dyapunov. Tá siad bunaithe ar an obair atá déanta geniuses mór, bhain an ábhar mar bhrainse na matamaitice. D'oibríomar na figiúirí ag deireadh an naoú haois déag, agus a bhuíochas sin a chuireann, a bhfuil sé cruthaithe fheiniméin amhail:

• dlí de líon mór;
• Teoiric na slabhraí Markov;
• An teoirim teorainn lárnach.

Mar sin, an stair an bhreith na heolaíochta agus leis na daoine móra a chuir leis é, tá gach rud níos mó nó níos lú soiléir. Anois tá sé in am a flesh amach na fíricí.

coincheapa bunúsacha

Sula tú teagmháil chóir na dlíthe agus teoirimí a fhoghlaim na coincheapa bunúsacha na teoiric dóchúlacht. Imeacht lonnaithe sé ról ceannasach. Tá an topaic in áit leathan, ach ní bheidh siad in ann a thuiscint go léir an chuid eile gan é.

Imeacht i teoiric dóchúlacht - sé Aon tsraith torthaí an turgnaimh. Coincheapa an bhfeiniméan seo nach bhfuil go leor. Dá bhrí sin, Lotman eolaí ag obair sa réimse seo, curtha in iúl go bhfuil sa chás seo, tá muid ag caint faoi na rudaí "a tharla, cé nach bhféadfadh sé tarlú."

imeachtaí randamach (íocann teoiric dóchúlacht aird ar leith orthu) - Is coincheap a mbíonn i gceist go hiomlán aon feiniméan an deis aige freisin tharlaíonn. Nó, ar a mhalairt, an scéal is féidir tarlú i gcomhlíonadh ar éagsúlacht na coinníollacha. Is fiú a fhios agam atá á saothrú an toirt iomlán na feiniméin a tharlaíonn teagmhais díreach randamach chomh maith. Molann teoiric Dóchúlacht gur féidir le gach coinníollacha a lua arís i gcónaí. Is sé a n-iompar a bheith gairmthe "taithí" nó "tástáil."

imeacht suntasach - tá sé seo le feiniméan go bhfuil céad faoin gcéad sa triail a tharlóidh. Dá réir sin, an t-imeacht dodhéanta - tá sé seo rud nach dtarlaíonn sin.

Is Snaidhmthe péirí Gníomhaíochta (conventionally an cás A agus cás B) feiniméan a tharlaíonn ag an am céanna. Tá siad dá dtagraítear mar AB.

Tá C, i bhfocail eile, más rud é amháin ar a laghad acu a bheidh (A nó B), a fhaigheann tú C. Tá an fhoirmle Tá feiniméan cur síos scríofa mar C = A + B - An méid péirí na n-imeachtaí A agus B

Forbairtí Neamh-chomhoiriúnach sa teoiric na dóchúlachta le tuiscint go bhfuil an dá chás comheisiatach. Ag an am céanna go bhfuil siad in aon chás nach féidir leis tarlú. comhimeachtaí i teoiric dóchúlacht - tá sé a n antipode. Is é an impleacht go bhfuil más rud é A tharla, ní chuireann sé bac C.

Gcoinne an ócáid (mheasann teoiric dóchúlacht orthu go mion mór), atá éasca le tuiscint. Is fearr chun déileáil leo i gcomparáid. Tá siad beagnach mar an gcéanna le forbairtí mar ní nach luíonn sa teoiric na dóchúlachta. Mar sin féin, tá a n-difríocht gur chóir cheann de iolrachas na feiniméin in aon chás a tharlaíonn.

imeachtaí chomh dócha - na gníomhaíochtaí sin, is é an fhéidearthacht athrá comhionann. Chun é a dhéanamh sé soiléir, is féidir leat a shamhlú tossing le caith súil: tá caillteanas de cheann de na taobhanna caillteanais cothrom dócha eile.

tá sé níos éasca a mheas an sampla na thaobhú an ócáid. Is dócha go bhfuil eipeasóid sa chlár A. An chéad cheann - rolla de dísle le teacht na uimhir chorr, agus an dara - an cuma ar an uimhir cúig ar an dísle. Ansin, casadh sé amach go bhfuil A V. bail ar fónamh orthu

teagmhais neamhspleácha i teoiric dóchúlacht atá réamh-mheasta ach ar dhá cheann nó níos mó uair agus baineann neamhspleách ar aon ghníomh ón eile. Mar shampla, A - ag caillteanas tossing eireabaill mona, agus B - Jack dostavanie as an deic. Tá siad teagmhais neamhspleácha in teoiric dóchúlacht. Ón nóiméad ba léir.

imeachtaí Cleithiúnach i teoiric dóchúlacht freisin ceadaithe ach amháin le haghaidh a leagan. tuiscint siad spleáchas ar cheann ar an taobh eile, is é sin, is féidir leis an feiniméan a tharlaíonn in ach amháin sa chás nuair a Tá tharla cheana féin nó, ar a mhalairt, ní raibh a tharlóidh nuair a bheidh sé - an príomhchoinníoll lena haghaidh B.

An toradh an turgnaimh randamach ina bhfuil comhpháirt amháin - tá sé imeachtaí bunrang. Deir teoiric Dóchúlacht go bhfuil sé ina feiniméan go bhfuil déanta ach aon uair amháin.

foirmle bunúsach

Dá bhrí sin, bhí an méid sin thuas a mheas an coincheap "teagmhas", "teoiric dóchúlacht", sainmhínithe na n-eochairthéarmaí den eolaíocht tugadh chomh maith. Anois tá sé in am chun eolas a dó féin na foirmlí tábhachtacha. Tá na téarmaí atá deimhnithe go matamaiticiúil na príomhchoincheapa a úsáidtear in sórt sin faoi réir deacair mar theoiric na dóchúlachta. Dóchúlacht teagmhais agus tá ról ollmhór.

Níos fearr chun tús a chur leis na foirmlí bunúsacha na combinatorics. Agus sula dtosaíonn tú iad, is fiú smaoineamh ar a bhfuil sé.

Combinatorics - go príomha a chur le brainse na matamaitice, bhí sé ag déanamh staidéir ar líon mór de slánuimhreacha, agus iomalartuithe éagsúla araon na huimhreacha agus a n-eilimintí, sonraí éagsúla, etc, as a dtiocfaidh roinnt teaglamaí ... Chomh maith leis an teoiric na dóchúlachta, tá an tionscal tábhachtach le haghaidh staidrimh, eolaíocht ríomhaireachta agus cripteagrafaíochta.

Mar sin, anois is féidir leat bogadh ar aghaidh le cur i láthair iad féin agus a foirmlí sainmhíniú.

Is é an chéad cheann díobh seo an abairt do líon na permutations, tá sé mar seo a leanas:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Tá feidhm ag Cothromóid ach amháin i gcás más difriúil na heilimintí ach amháin san ord socraithe.

Anois foirmle socrúcháin, tá sé cosúil le go mbeidh sé seo a chur san áireamh:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Tá an focal infheidhme, ní hamháin ar an eilimint amháin de socrúcháin ordú, ach freisin chun a chomhdhéanamh.

An tríú cothromóid combinatorics, agus tá sé an dara ceann, ar a dtugtar an fhoirmle do líon na teaglamaí:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Teaglaim ar a dtugtar sampláil, nach bhfuil curtha in ord, faoi seach, agus i bhfeidhm ar an riail seo.

Le tháinig an foirmlí na n combinatorics a thuiscint go héasca, is féidir leat dul anois go dtí an sainmhíniú clasaiceach na dóchúlachta. Breathnaíonn sé mar seo abairt mar seo a leanas:

P (A) = m: n.

Sa fhoirmle, m - Is é an líon dálaí atá oiriúnach do don imeacht A, agus n - líon na n-cothrom agus go hiomlán na himeachtaí tosaigh.

Tá go leor nathanna san alt Ní bhreithneofar rud ar bith ach a bheidh i gceist ar na cinn is tábhachtaí, mar shampla, mar shampla, méideanna an dóchúlacht na n-imeachtaí:

P (A + B) = P (A) + P (B) - an teoirim maidir le cur le amháin imeachtaí comheisiatach;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ach tá sé seo ach le cur le coinníollacha ag luí.

An dóchúlacht na n-oibreacha ócáid:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - an teoirim do teagmhais neamhspleácha;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - agus tá sé seo don chleithiúnaí.

liosta Dar Críoch de foirmle imeachtaí. Insíonn an teoiric na dóchúlachta dúinn teoirim Bayes, a bhreathnaíonn ar nós seo:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Sa fhoirmle, H _1, H _2, ..., H _n - Is sraith iomlán de hipitéisí.

Ag an stad, beidh samplaí foirmlí iarratas a bheith anois maidir le cúraimí sonracha ó chleachtas.

samplaí

Má tá tú staidéar cúramach ar aon bhrainse den mhatamaitic, nach bhfuil sé gan cleachtaí agus réitigh samplacha. Agus theoiric na dóchúlachta: imeachtaí, tá samplaí anseo mar chuid lárnach de ag deimhniú ríomhaireachtaí eolaíochta.

An fhoirmle do líon na permutations

Mar shampla, i deic cárta a bheith tríocha cártaí, ag tosú leis an gceann ainmniúil. cheist eile. Cé mhéad bealach a fhilleadh ar an deic sa chaoi is nach raibh na cártaí le luach aghaidh amháin agus dhá suite in aice?

Tá an chúraim atá leagtha, anois a ligean ar bogadh ar aghaidh chun déileáil leis. An Chéad is gá duit a chinneadh líon na permutations de tríocha heilimintí, chun na críche sin a chur orainn an fhoirmle thuas, casadh sé P_30 = 30!.

Bunaithe ar an riail seo, tá a fhios againn cé mhéad roghanna ann an deic i go leor bealaí a leagan síos, ach ní mór dúinn a bhaint as dóibh go bhfuil na cinn ina mbeidh an chéad agus an dara chárta a bheith seo chugainn. Chun seo a dhéanamh, tús a chur le malairt leagain, nuair a bhíonn an chéad suite ar an dara. Casadh sé amach gur féidir leis an chéad léarscáil ghlacadh fiche a naoi áiteanna - ón gcéad go dtí an naoú fiche, agus an dara cárta as an dara go dtí an tríochadú casadh, fiche naoi suíochán le péirí de chártaí. Ina dhiaidh sin, is féidir na cinn eile a ghlacadh suíochán ocht gcinn is fiche, agus in aon ord. Is é sin, chun athchóiriú na cártaí fiche a hocht Tá fiche is a hocht rogha P_28 = 28!

Is é an toradh go má mheasann againn ar an gcinneadh, nuair a bhíonn an chéad chárta ar an dara deis breise a fháil 29 ⋅ 28! = 29!

Ag baint úsáide as an modh céanna, ní mór duit a ríomh ar an líon na roghanna iomarcach don chás nuair a bhíonn an chéad chárta suite faoin dara. Chomh maith leis sin a fhaightear 29 ⋅ 28! = 29!

Ón seo, leanann sé go bhfuil na roghanna breise 2 ⋅ 29!, Agus an acmhainn is gá a bhailiú ar an deic 30! - 2 ⋅ 29!. Tá sé fós ach amháin a ríomh.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Anois, ní mór dúinn chun méadú le chéile gach ceann de na huimhreacha 1-29, agus ansin ag an deireadh ar fad iolraithe faoi 28. Fuair an freagra 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Samplaí de réitigh. An fhoirmle do líon na n-chóiríocht

Sa an fhadhb seo, ní mór duit a fháil amach cé mhéad tá bealaí a chur ar an méid déag ar seilf, ach ar an gcoinníoll go ach tríocha imleabhar.

Sa tasc seo, an cinneadh beagán níos éasca ná an mbliain roimhe. Ag baint úsáide as an bhfoirmle ar eolas cheana féin, tá sé riachtanach a ríomh ar an líon iomlán na n tríocha ionad déag imleabhar.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Freagra, faoi seach a bheidh, a bheith comhionann le 202 843 204 931 727 360 000.

Anois, a chur ar an tasc beagán níos deacra. Ní mór duit fios a bheith agat cé mhéad tá bealaí a shocrú na leabhair tríocha dó ar na seilfeanna, ar an gcoinníoll nach féidir ach cúig déag imleabhar cónaí ar an seilf céanna.

Roimh thús an chinnidh ba mhaith leat a shoiléiriú gur féidir le roinnt de na fadhbanna a réiteach ar bhealaí éagsúla, agus ar an tá dhá bhealach, ach i go bhfuil an dá cheann agus an fhoirmle chéanna i bhfeidhm.

Sa tasc seo, is féidir leat a chur ar an freagra ón gceann roimhe, toisc go mór dúinn a ríomh an líon uaireanta is féidir leat a líonadh amach an seilf ar feadh cúig leabhar ar bhealaí éagsúla. Iompaigh sé A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

An dara reisimint ríomh de réir na foirmle reshuffle, toisc go bhfuil sé curtha déag leabhar, agus an chuid eile den déag. Bainimid úsáid as foirmle P_15 = 15!.

Tharlaíonn sé go raibh an tsuim a bheidh A_30 ^ 15 ⋅ P_15 bealaí, ach, ina theannta sin, bheadh ar an táirge de na huimhreacha 30-16 a iolrú ar an táirge na n-uimhreacha 1-15, sa deireadh dul amach ar an táirge de na huimhreacha 1-30, is é sin an freagra Is 30!

Ach is féidir an fhadhb a réiteach ar bhealach difriúil - níos éasca. Chun seo a dhéanamh, is féidir leat a shamhlú go bhfuil seilf amháin ar feadh tríocha leabhar. Gach ceann díobh a chur ar an eitleán, ach mar gheall ar a éilíonn an gcoinníoll go raibh dhá seilfeanna, ceann fada sábhadh muid a ina dhá leath, dhá casadh déag. Ón tharlaíonn sé go raibh féidir an socrú seo a P_30 = 30!.

Samplaí de réitigh. An fhoirmle do líon na teaglamaí de

Cé a mheastar ina mhalairt de na tríú fadhb na combinatorics. Ní mór duit fios a bheith agat cé mhéad bealaí ann chun socrú cúig leabhar ar an gcoinníoll nach mór duit a roghnú as tríocha díreach mar an gcéanna.

Maidir leis an gcinneadh a bheidh, ar ndóigh, iarratas a dhéanamh ar an fhoirmle le haghaidh líon na teaglamaí. Ón an gcoinníoll go mbeidh sé soiléir nach bhfuil an t-ordú na cúig cinn déag céanna leabhair tábhachtacha. Mar sin, ar dtús is gá duit a fháil amach an líon iomlán na teaglamaí de tríocha cúig cinn déag leabhar.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Sin uile. Ag baint úsáide as an bhfoirmle, in am is giorra is féidir a leithéid de fhadhb, an freagra, faoi seach, is ionann 155,117,520 réiteach.

Samplaí de réitigh. An sainmhíniú clasaiceach de dóchúlacht

Ag baint úsáide as an bhfoirmle a thugtar thuas, is féidir ceann a fháil freagra a fháil sa tasc simplí. Ach beidh sé a fheiceáil go soiléir agus lean na cúrsa gníomhaíochta.

An tasc ós rud é go i urn tá deich liathróidí go hiomlán comhionann. Díobh seo, ceithre cinn buí agus sé gorm. Tógtha ón urn liathróid amháin. Is gá a fhios ag an dóchúlacht dostavaniya gorm.

Chun an fhadhb a réiteach is gá dostavanie ócáid liathróid gorm A. a ainmniú D'fhéadfadh sé seo an taithí deich torthaí, a, a seal, bunrang agus chomh dócha. Ag an am céanna, tá sé cinn de na deich fabhrach don ócáid A. Réitigh an bhfoirmle seo a leanas:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Iarratas a dhéanamh ar an fhoirmle, atá foghlamtha againn go bhfuil an fhéidearthacht dostavaniya liathróid gorm 0.6.

Samplaí de réitigh. An dóchúlacht na n-imeachtaí mhéid

Cé a bheidh malairt leagain atá réiteach trí úsáid a bhaint as an bhfoirmle dóchúlacht na n-imeachtaí mhéid. Mar sin, mar gheall ar an gcoinníoll go bhfuil dhá chás, is é an chéad cheann liath agus cúig liathróidí bán, agus an dara ceann - ocht liath agus ceithre liathróidí bán. Mar thoradh air sin, tá an chéad agus an dara boscaí a glacadh ar cheann acu. Is gá a fháil amach cad iad na deiseanna go raibh easpa iad na liathróidí liath agus bán.

Chun fhadhb seo a réiteach, tá sé riachtanach chun an ócáid a aithint.

• Dá bhrí sin, A - ní mór dúinn a liathróid liath den chéad bhosca: P (A) = 1/6.
• A '- bolgán bán áireamh freisin ón gcéad bhosca: P (A') = 5/6.
• An - bhaintear cheana liathróid liath ar an dara seolta: P (B) = 2/3.
• B '- Ghlac liathróid liath ar an dara tarraiceán: P (B') = 1/3.

De réir an bhfadhb is gá a tharla ar cheann de na feiniméin: AB 'nó' B. Ag baint úsáide as an bhfoirmle, faighimid: P (AB ') = 18/01, P (A'B) = 10/18.

Anois, baineadh úsáid as an fhoirmle iolrú ar an dóchúlacht. Next, a fháil amach an freagra, ní mór duit iarratas a chothromóid a chur leis:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Sin é an chaoi, ag úsáid na foirmle, is féidir leat a réiteach fadhbanna den sórt sin.

toradh

Cuireadh an páipéar i láthair ar an bhfaisnéis maidir le "teoiric dóchúlacht", an dóchúlacht na n-imeachtaí a ról tábhachtach. Ar ndóigh, tá gach rud curtha san áireamh, ach ar bhonn an téacs i láthair, is féidir leat a fháil teoiriciúil acquainted leis an brainse den mhatamaitic. Is féidir le eolaíocht A mheastar a bheith úsáideach ní hamháin sa ghnó gairmiúil, ach freisin i saol laethúil. Is féidir leat é a úsáid a ríomh aon chaoi ócáid.

Cuireadh an téacs difear freisin do dhátaí suntasacha i stair na forbartha de teoiric dóchúlacht mar eolaíocht, agus ainmneacha na ndaoine a bhfuil a n-oibreacha a cuireadh isteach ann. Sin é an chaoi fiosracht an duine mar thoradh ar an bhfíric go bhfuil daoine a foghlaimíodh a chomhaireamh, fiú imeachtaí randamach. Chomh luath agus go bhfuil siad díreach spéis acu sa, ach inniu tá sé ar eolas cheana féin go léir. Agus is féidir aon duine a rá cad a tharlóidh le linn sa todhchaí, cén fionnachtana iontach eile a bhaineann leis an teoiric atá faoi bhreithniú a bheadh, a bheith tiomanta. Ach tá rud amháin cinnte - nach bhfuil an staidéar go fóill fiú é!